如图ef是正方形abcd的中点（已知E是正方形ABCD外一点）
题：如图，已知E是正方形ABCD外一点，满足BE=BD，CE∥BD，BE交CD于
题：如图，已知E是正方形ABCD外一点，满足BE=BD，CE∥BD，BE交CD于F，
求证：DE=DF.
分析：欲证DE=DF，设法证明∠DEF=∠DFE.
从已知出发，根据已知条件联想到其相关的性质。
由四边形ABCD是正方形，可得该四边形四边相等，四个角都是直角，对角线与边的夹角为45°；
由BE=BD，可得∠BED=∠BDE；
由CE∥BD，可得∠BEC=∠DBE，∠DCE=∠BDC=45°.
经过探索，以上这些条件仍然不足以证明∠DEF=∠DFE.
考虑添加辅助线.注意到正方形对角线互相垂直评分且相等，为了利用这个性质，连接AC，交BD于点O（如图2）.则
AC⊥BD，OC=BD/2.
因为CE∥BD，所以AC⊥CE，
从而有∠DOC=∠OCE=90°.
考虑到这两个直角，再作EG⊥BD于G（如图2），
则四边形OCEG是矩形，
所以EG=OC=BD/2.
注意到直角三角形BGE中，
因为BE=BD，所以EG=BE/2，
所以∠EBG=30°.
这是个伟大的发现，发现了∠EBG为30°，接下来的问题就不成问题了.
证明：连接AC，交BD于点O（如图2）.则
AC⊥BD，OC=BD/2.
因为CE∥BD，所以AC⊥CE，
作EG⊥BD于G（如图2），
则四边形OCEG是矩形，
所以EG=OC=BD/2.
在直角ΔBGE中，
因为BE=BD，
所以EG=BE/2，
所以∠EBG=30°，
所以∠BDE=∠BED
=(180°-30°）/2=75°，
因为∠BDC=45°，
所以∠EDF=30°，
所以∠DFE=180°-30°-75°=75°，
所以∠DFE=∠DEF，
所以DE=DF.
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