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1、虹口区2023学年度第二学期期中学生学习能力诊断测试高三数学试卷 2024.4考生注意:1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上的 相应位置，在试卷上作答一律不得分.一、填空题（本大题共存12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置宜接填写结果.31.若 sin x=,贝ij cos2 x=.2.已知一个球的表面积为36几，则该球的体积为.3.过抛物线产二公保点的弦力8的中点横坐标为2,则弦48的长度为.4.已知集合/=Mtanx432,求正整数m的最小值
2、.18.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)如图，在二棱柱/AC-4用中，CA工CB,D为 的中点，CA=CB=2,CC,=3.(1)求证：NG平面片CD；(2)若CQ _L 平面/3C,点 P在棱441 上，W.PDA.平面BQD,求宜线CP与平面BD所成角的正弦值.19.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)(第18题图)某企业监控汽车冬件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量 差(零件质髭与标准质员之差的绝对值)的样本数据如卜.表:质用差(单位：mg)5457606366件数(单位:件)52146253求样木质量差的平均数亍；假设零件的质量差X其中
3、被二用工 作为”的近似值,求尸(56X432,所以廿+3%108,所以（加+12）（加-9）0,所以?9或机(1,1,0),4(2,0,3),司(0,2,3),G(0,0,3).8 分设点尸的坐标为(2,0,1),则 DP=西=(-1,1,3),_ _ 7 从而由,3)=3。,得吃.所以点尸的坐标为(2,0,故而=(2,0,|).10分设平面BCD的一个法向量为5=(x,乂z),则.比=(xj,z)(,l,0)=x+y=0,即n-CBy=(x,y,z)-(Q,2,3)=2y+3z=0,z=-y,i，3取y=-3,得=(3,-3,2).12分设直线CP与平面B.CD所成的角为&则 瓯(2
4、,。,|).(3,-3,2)sin 0=cos =，_J=-=-；_3-M-H|(2,0,|)|.|(3,-3,2)|再夜14分19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）解：（1）由条件得：样本平均数为亍=54x5+57x21+60 x46+63x25+66x3=60?分 100由XN（4,02）,心=60,=16,得:尸(56 X 68)=P(60-4 X .8分-2-（-3）617从而直线/的方程为y-0=J（x+2）,即、=-名（或5x+6y+10=0）.10分6 6 3（3）假设存在满足条件的直线/,并设直线的方程为y=/nr+l（加工0）,则由x2 2，得（4/+1）/+8
5、加工=0,所以丫“二一丁；.12分+y=1 4w+1由于kpA，kpR=l,所以直线m的方程为y=-x+,同理可得 mm 二 8加4(-L)2+l-八4 m第7页共4页故直线/的斜率为k=一吗(叫+1)-(小+1)岭不XA-XH XA-XH XA-XH4/n2+l m m2+4 _ 4/7?2+l m2+4 _ 477?2+1-?72(7n2+4)8加)_(_ 87)_ _ m+一 m(4/2+l)-(?w2+4)4/m2+m2+47 4w2+1 m2+4“J.江里=(,+口 3w(tw2-1)3m 3 in15分当APAB为直角三角形时，只有可能/尸46=90。,或/产区4=90。，于是k=
6、-或 k=-m.m若 k=_上,由一 L=-L(m+),PJ 得加=从而 k=4;7 w 3 w 2若 =一6，由一？=一，(m+),可得 m=也有 A=土3 m 2 2因此，直线/的斜率为土字.18分 21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)解：(1)y=八刈不具有性质P.理由：取%=-2/,=1,有血丝=*0.4分(2)函数7=/(x)具有性质P,故对,x,wR,玉-x,#0,都有如)+一义0,而 一 Xfy=/(x)是奇函数，故/(芭)丁区)0,即y=/(x)是严格增函数，/(x)=1+2acos2x0 X|一工2恒成立.7分若a0,则/(x)min=l-2a2 0,解得0awg；若a=0,则/(x)=lN0恒成立；若a0,则/(x)min=1+2。之0,解得一;a0.综合上述，实数q的取值范围为-,，-1 10分_ 2 2_第8页共4页证明：(3)因函数y=/(x)的定义域为R,要证明_y=/(x)是奇函数，只要证明：对任意实数/，/(4)+/(-/)=即可.对任意实数设/(工0)=4则由0 12分X+X。设 A(x)=/(x)+/(x0)=/(X)+C,当
