数学超有用的定理（10个为酷炫的数学结论）
原文作者，Michael Alba。
翻译作者，donkeycn，哆嗒数学网翻译组成员
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校对，小米。
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许多人会对晦涩的符号以及严格的数学规则望而生畏，一旦看到一个问题中既有数字又有字母，就会很容易放弃。然而，虽然数学有时可能是困难且难以理解的，但它可以证明的结果有时却可以是美丽的、令人难以置信的，或仅仅只是出人意料的。就比如如下这些结果：
10、 四色定理
四色定理最先是由一个叫Francis Guthrie的人在1852年发现的。当时他试图给一幅画有英国所有郡的地图着色（这是在互联网发明之前，根本没有什么工具可以使用）。他发现了一些有趣的东西：只需最多四种颜色，他就能确保任何两个有公共边界的郡都着不同的颜色。Guthrie想知道这个结论是否对所有的地图成立，这个问题成了多年来一直没有解决的数学趣题。
直到1976年（经历了一个多世纪），这个问题终于被Kenneth Appel和Wolfgang Haken解决了。他们的证明相当复杂并且需依赖于计算机。它指出，在任何政区图中（比如说，画有多个国家的地图），对每个国家进行着色，使得着相同颜色的国家不相邻，只需要四种颜色就足够了。
9、 布劳威尔不动点定理
这个定理来自于一个被称为拓扑学的数学分支，是鲁伊兹·布劳威尔发现的。虽然它的专业表述很抽象，但它在现实世界中有许多令人着迷的应用。现在假设我们有一张图片（例如，蒙娜丽莎），然后我们拿来它的一个副本。我们可以对这个副本做任何我们想做的，放大它，缩小它，旋转它，把它揉作一团，等等。布劳威尔不动点定理说，无论我们对那个副本做了什么，只要我们把它放在原始的图片正上方（且副本在原始的图片上的投影不超出原始的图片的范围），副本上必然存在至少一点，使得该点恰好在它所对应的原始图片上的相应点的正上方。这个点可能是蒙娜丽莎的眼睛，耳朵，或微笑的一部分，虽然不知道它究竟是哪个点，但它确实是存在的。
这在三维空间中也是成立的：现在想象我们有一杯静置的水，然后拿起勺子，想怎么搅拌就怎么搅拌，然后再等它完全静止。由布劳威尔不动点定理，将有至少一个水分子，它会恰好位于搅拌前所处于的位置。（哆嗒小编注：意思是这个意思，单用分子举例子，数学角度看，并不严谨。）
8、 罗素悖论
在19、20世纪的世纪之交，很多人着迷于一个被称为集合论（我们将在后面稍加讨论）的新数学分支。简单地说，集合就是放在一起的一堆东西。当时的观点是，任何东西都可以构成一个集合：所有种类的水果构成的集合、所有美国总统构成的集合，这些都是完全有效的。另外，有一点很重要，集合可以包含其它集合（如前面句子：所有集合的集合也是集合）。在1901年，著名数学家伯特兰·罗素意识到这种观点有一个致命缺陷（并因此导致了第三次数学危机），即：并非任何东西都能构成一个集合。
罗素决定对此进行深入研究，并构造了一个集合，其元素为所有的不以自己作为元素的集合。因为所有的水果构成的集合不包含自己作为元素（估且不论西红柿算不算水果），所以它属于罗素构造的那个集合，当然还有许多其它符合该条件的集合。但是罗素构造的那个集合本身又如何呢？如果它不包含自己作为元素，那么按照它的定义，它就应该包含自己。但是等等……现在它确实包含了它自己，所以按照它的定义，我们自然又得把它拿出来。然后，还是按照它的定义，我们现在又必须把它放回去……等等。这一逻辑悖论导致了集合论（它是当今数学最重要的分支之一）的彻底变革。
7、 费马大定理
还记得在学校里学过的毕达哥拉斯定理吗？它是有关于直角三角形的，说的是：直角三角形中，两个较短边的平方和等于最长边的平方（x² y² ＝ z²）。皮埃尔·德·费马最著名的定理是：如果你将上述方程中的指数2换成任何一个大于2的正整数，那么这一方程就没有正整数解了（例如，x³ y³ ＝ z³ 没有正整数解）。
正如费马本人所写的：“我发现了一个绝妙的证明，但书旁边的空白太窄了，写不下。”那真是太糟糕了，因为费马早在1637年就提出这个问题，但它在相当长的一段时间内没有被证明。在经历了很长一段时间后，我的意思是，它终于在1995年（在问题被提出了358年之后）由安德鲁·怀尔斯所证明。
6、 末日论
此处可以合理地假设这篇文章的大部分读者都是人类。作为人类，本条目将特别发人深省：数学可以用来推断我们这个物种可能会在什么时候灭绝。无论如何，我们得用上概率。
这个论点（已经存在了大约30年，并且已经被发现或重新发现了好几次）基本上都是在说人类的时间就快到了。一个版本的说法（归功于天体物理学家J. Richard Gott）出奇地简单：如果把人类这一物种完整的存续时间看成是一条人类从出现到灭绝的时间线，那么我们可以来推断我们现在位于该时间线的何处。
因为“现在”这一时刻只不过是我们作为一个物种、在我们存续时间内的一个随机的时刻，因此我们可以认为，我们有95%的概率处于该时间线的中间95%的某处。如果我们现在恰好位于该时间线的前2.5%分位点处，那留给我们人类的时间最长。如果我们现在恰好位于该时间线的前97.5%分位点处，那留给我们人类的时间最短。这就让我们能够给出人类还能存续多久的一个范围估计。Gott认为，有95%的概率，人类将会在从现在开始的5100年后到780万年后之间的某个时刻灭亡。所以，人类啊，该干嘛干嘛去吧，最好是赶紧去看看你的人生目标清单上还剩下些什么。
5、 非欧几何
你在学校里学过的、也许还记得的一点点数学大概就是几何了，甚至也就仅仅是你在笔记里随手涂鸦的那些东西。我们大多数人熟悉的几何叫做欧几里得几何，它基于五条相当简单的、不言自明的关于点和线的公理。这些关于点和线的公理很容易在黑板上表示出来，而且很长一段时间，它被认为是几何唯一可行的方法。
然而，问题在于，欧几里得在2000年前提出这些的看似不言自明的真理，并不是在每个人看来都是不言自明的。有一条公理（被称为平行公设）在数学家们看来有点不一样，几个世纪以来许多人试图用其它公理来推导出它。在18世纪初，人们尝试了一种大胆的新方法：于是第五公设（即：平行公设）被简单地替换掉了。然而整个几何体系并没有因此崩溃，反而是产生了一种新的、现在被称为双曲几何（或鲍耶—罗巴切夫斯基几何）的几何。这导致了科学界彻底的范式转变，也为许多不同类型的非欧几何打开了大门。其中比较突出的一个就是黎曼几何，它被用于描述爱因斯坦的相对论（有趣吧，我们的宇宙居然是不遵循欧几里得几何的！）。
4、 欧拉公式
欧拉公式是这篇文章中最强大的结论之一。它归功于史上最多产的数学家之一：莱昂哈德·欧拉。欧拉一生发表了800多篇论文，其中很多是他失明之后发表的。
这个结果乍看起来很简单：e^iπ 1=0。其中e和π都是数学常数，它们经常会出现在各种意想不到的地方，i是虚数单位，它等于-1的平方根。欧拉公式的非凡之处在于：它把数学中最重要的五个数（e，i，π，0和1）组合成了这样一个优美的等式。物理学家理查德·费曼称之为“数学中最神奇的公式”，其重要性在于：它把数学的多个方向统一了起来。
3、 通用图灵机
我们生活在一个由计算机主宰的世界里。也许你现在也恰好是在计算机上读这篇文章！说计算机是二十世纪最重要的发明之一估计也没什么人会反对，然而你可能会惊奇地发现，计算机起源于理论数学的领域。
数学家（同时也是二战时的密码破译者）艾伦·图灵发明了一种被称为图灵机的理论机器。图灵机就像一台非常简单的计算机：它使用无限长的纸带以及3种符号（不妨设为0, 1和空白），然后根据一组指令进行运算。指令可以是：
将“0”改为“1”并向左移动一格，或者输入“空白”并向右移动一格（以上只是举例子）。这样，图灵机就可以用来执行任何定义良好的函数运算。
图灵接着描述了什么是通用图灵机，它是一个能够模拟其它所有图灵机的图灵机且能读入任意的输入。这基本上就是存储程序计算机的概念了。图灵仅仅只是用了数学和逻辑，就在技术水平发展到可以设计出真正的计算机之前，创立了计算科学领域。
2、 不同层次的无穷
无穷本身已近是个很难掌握的概念了。人类生就也是很难理解像“无限”这样的概念的。因此，数学家对待无穷一向是谨小慎微的。直到十九世纪下半页，格奥尔格·康托尔才建立了名为集合论（还记不记得我们在罗素悖论那部分曾提到过它？）的数学分支，有了这一理论才能使康托尔能够思索无穷的真正本质。康托尔对无穷的研究成果真是令人叹为观止。
事实证明，对任何一个我们能想象到的无穷，总会存在另一个比我们想象到的那个无穷还要大的无穷。最低层次的那个无穷就是所有正整数（1,2,3…）的个数，这个是可数无穷。随着一些非常优雅的推理，康托尔确认了存在另一个层次的无穷：所有实数（1，1.001，4.1516，…… 包括了你能想到的任何数）的个数。这种类型的无穷是不可数无穷，这意味着即使你拥有宇宙中所有的时间，你也不可能在不漏掉某些实数的情况下按某个顺序列出所有的实数。但是请等一下，按照康托尔的理论，在那个无穷之后还有更多的不可数无穷。那么到底有多少呢？当然是有无穷多个了。
1、 哥德尔不完备定理
在1931年，奥地利数学家库尔特·哥德尔证明的两个定理撼动了整个数学界的核心，因为这两个定理结合在一起给出了让整个数学界沮丧的结论：数学是不完备的，而且永远也不会完备。
技术细节就不赘述了。哥德尔第一不完备定理说的是：对任何形式系统（需包含自然数的系统），总存在该形式系统中的真命题，且该命题在该形式系统内是无法被证明的。然后更本质地，哥德尔第二不完全定理说的是：任何公理体系的无矛盾性都不可能在该公理体系内被证明。永远不会有一个能包含所有数学理论的封闭的系统，因为我们不可能让数学体系完备，所以数学体系只能越来越庞大。
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