数学教育学报2021第05期(2021年数学报纸)
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特殊的发声器官
人和动物最大的区别是人会说话。人有特殊的发声器官。会说话培养什么能力呢？培养的是抽象能力。我说苹果，我也没给你们拿苹果，但你们脑子里是不是想象出了苹果，因此会说话是一个抽象的结果。特别是后来文字的发明更是抽象的结果，因此会说话培养的能力是抽象能力。早期阶段就是培养两个能力，一个是想象能力，一个就是抽象能力。
我认为所有的学科都应该把培养想象力和抽象能力作为培养目标。
过去认为只有数学能培养抽象能力、逻辑思维能力。对于数学来说，抽象就是舍弃事物的一切属性，得到数学的研究对象，这就是数学的抽象。语文的抽象是什么？关于这个问题，有位幼儿园的园长问我，“小孩怎么培养抽象能力呢？”我说：“你让他说人的脸和兔子的脸有什么区别？共性是什么？这个小孩能够说清楚就是抽象了。” 语言肯定是抽象。老师们应该引导孩子们学会观察，观察是抓住共性、分出差异，再进一步是得到本质特征。这个要得到的话，绝对是抽象。语文教育，我认为应该做到这一点。如果认为从观察到归纳、到表述，是一个抽象的过程，那么语文的抽象就是，理解共性，发现差异。
许多问题是需要深入思考的，比如，数学的逻辑思维。大家都说数学培养逻辑思维能力，可是，我查遍了所有形式逻辑的书和数学教育的书，没有一本书定义出来什么是逻辑推理。什么是逻辑推理呢？我用了十年的时间非常认真地研究什么是逻辑推理，数学的推理为什么是有逻辑的，具有传递性的推理是逻辑推理。我将逻辑推理分成几个类型，写了一篇很长的文章叫《试论数学推理过程的逻辑性：兼论什么是有逻辑的推理》，刊登在《数学教育学报》。在这篇文章中我认真地讨论数学的定义是什么，数学的命题是什么，数学的推理是什么，推理的形式是什么。
对于一个教育工作者来说，我认为很多应该有的定论，事实上却是没有的，比如说逻辑推理。因此我在想，什么是想象力，我估计也没有定论；什么是形象思维有定论，但是针对教育的形象思维是什么，大概也没有定论。但想象力极为重要。爱因斯坦说：“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界上的一切，推动着进步，并且是知识进化的源泉。严格地说，想象力是科学研究中的实在因素。”
钱学森说过，“科学上的创新光靠严密的逻辑思维不行，创新的思想往往开始于形象思维，从大跨度的联想中得到启迪，然后再用严密的逻辑加以验证。”（《人民日报》2009年11月5日）因此，无论如何，语文教学应当研究什么样的思维是合理的形象思维。比如，建立这样的思维过程：从观察到联想，从联想到想象。
《义务教育数学课标（2011年版）》强调学生从小要学会分类，为什么要强调分类呢？人们观察到一个事物，通过联想得到包含此事物在内的一个类，这个类可以成为人们进一步思维的对象。比如，我们所说的抽象，表面上是对此事物的特征进行提炼，实质上是对类中事物特征的共性进行提炼。因此可以说：想象和抽象的思维对象是通过联想得到的类。因此，这样的类也构建了归纳推理的思维对象、甚至是逻辑思维的对象。（参见《数学思想概论4· 数学中的归纳推理》，史宁中，东北师范大学出版社，2010年）
因此，教育必须明晰思维的对象、得到思维的对象，这是学习的开始。
贰
初中阶段学生的认知与教学
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人的认知何以可能
人为什么能够学习数学？人为什么能够学习？学习的起点是什么？人是怎么创造知识的？人为什么能够创造知识？人的认知何以可能？这个问题很大，我也思考了十多年的时间，后来写了一篇名为《试论人的基于本能的认知》的文章。
人为什么能够获得知识，这是一个古老的哲学问题，也是一个现代的认识论问题，至今得不到满意的答案，正如罗素所说的那样，“经验主义和唯心主义同样面临着一个问题，迄今哲学一直没有找到满意的解答：那就是，说明我们对自身以外的事物和对我们自己的心灵活动如何有认识的问题。”
现象学的创始人胡塞尔也表述了类似的论断：“作为意识的经验如何能够给予一个对象或切中一个对象；经验如何能够通过经验来相互证明或相互纠正，而不仅仅是主观地扬弃自身或主观地强加自身；一个经验逻辑意识的游戏如何会意味着客观的有效，意味着对自在、自为存在事物的有效；……。如所周知，认识论这门学科想要回答这些问题，但至今为止也没有在科学上清晰地、一致地、决断地回答这些问题，虽然那些伟大的研究者们在这些问题上已经进行了所有那些思维劳作。”
